20210915-赌徒破产问题(Gambler's Ruin Problem)

没有银弹

十赌九输这句话有根据吗?

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对于一个赌徒，当他赢了时，他把赌注押在固定的资金上，但当他输了时，他不会减少赌注，即使他有一个积极的结果，最终也不可避免地会破产。

A、B赢得所有钱的概率是多少？

假设A、B两个赌徒，A的初始赌资为M、B的初始赌资为N。

游戏玩法是选择硬币的一面，假设当硬币正面向上，A获胜；当硬币反面向上，B获胜。

每次押注金额为一元，获胜方会从失败方获得一元。

A、B不停进行赌博，直到双方中由一方的赌资为0。

A的胜率为p、B的胜率为q（即A的败率）。

PA为A赢得所有钱的概率，PB为B赢得所有钱的概率。

考虑A、B的胜率相同时，即对于每一局博弈而言，是公平的。

M=N的情况下，计算公式为：

PA=M/(M+N)=N/(M+N)=1/2

PB=PA

结论：

这是一个完全公平的博弈，A赢得所有钱的概率和B赢得所有钱的概率相等，都为1/2。

M≠N的情况下，计算公式为：

PA=M/(M+N)

PB=N/(M+N)

结论：

这是一个完全取决于赌注的博弈，谁的赌注多，谁赢得所有钱的概率就越大；

当某一方赌注为无限大时，有限一方赢得所有钱的概率趋向为0，无限一方赢得所有钱的概率趋向为1。

不妨举个例子来看一下：

M=N的情况

假设A有6元，B有6元。A、B的获胜概率为1/2。

则A赢得所有钱的概率为 6/（6+6）B赢得所有钱的概率为 6/（6+6）

M≠N的情况

假设A有4元，B有8元。

A、B的获胜概率为1/2。

则A赢得所有钱的概率为 4/（8+4）B赢得所有钱的概率为 8/（8+4）

数学理解：

赢多了一定有输回来的概率。

但输光了，却没有再赢回来的资本。

咱们仅讨论概率，假设赌博绝对公平，每场五成概率+1，五成概率-1。

赌资在这个过程中是随机增减的。而这种随机过程有个特点，时间越长，波动越大。

一旦波动下线超过了你的初始赌资，你就破产了。

物理理解：

我们可以把赌资的增减，看作一个分子在x轴上的一维布朗运动。于是，赌资的增减，变成了一个一维扩散问题。

赌资输光了就没资格再赌了，等价于在x=0处有一个强力吸收阱。

吸收阱处浓度为0，所以扩散总是吸收阱方向进行的。

所以说，不管你的初始赌资有多少，终究是会被这个阱给吸光的的。